Significado y uso de las operaciones básicas con numero enteros
LOS NÚMEROS ENTEROS
Los números enteros que se representan por la letra Z, están formados por los números naturales, el cero y los números enteros negativos, es decir, (…-2, -1, 0, 1, 2…).
LOS NÚMEROS NATURALES
Los números naturales son los números que utilizamos normalmente para contar cosas físicas, como piedras, carros, manzanas, tortillas, etc.
Estos números son desde el 1,2,3,4,5 hasta el infinito. Y se señala así: (1,2,3…) o así [1, ∞)
EL CERO
El cero es el número que significa una carencia de valor y se escribe “0”.
LOS ENTEROS NEGATIVOS
Los numero enteros negativos son los que utilizamos para representar un valor inverso a un número natural, también se puede decir que los números naturales es algo que “se debe” en nuestro conteo, y están representados por los números -1, -2, -3 hasta el menos infinito y se pueden representar como (-1, -2, -3…) o (-∞, -1].
PROPIEDADES DE LA SUMA DE NÚMEROS ENTEROS
Estos números enteros que vamos a utilizar en todo nuestro estudio tienen las siguientes propiedades generales en la suma.
Cerradura
Si dos números enteros se suman, el resultado también debe ser otro número entero.
Si a, b ϵ Z → a + b ϵ Z
Ejemplo:
3, 15 → 18 ϵ Z
Conmutativa
El orden de los números que se suman, no altera el resultado.
a + b = b + a
Ejemplo:
4 + 9 = 9 + 4
Asociativa
Los números de una suma se pueden agrupar sin alterar el resultado de la suma.
(a + b) + c = a + (b + c)
Ejemplo:
(3 + 2) + 1 = 3 + (2 + 1)
Neutro
Cualquier número sumado con el cero es igual al mismo número.
a + 0 = a
Ejemplo:
24 + 0 = 24
Inverso
La suma de un número entero más su inverso o simétrico es igual a cero.
a + (-a) = 0
Ejemplo:
13 + (-13) = 0
PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS
Estos números enteros que vamos a utilizar en todo nuestro estudio tienen las siguientes propiedades generales en la multiplicación.
Cerradura
Si dos números enteros se multiplican, el resultado también debe ser otro número entero.
Si a, b ϵ Z → a * b ϵ Z
Ejemplo:
3, 6 → 18 ϵ Z
Conmutativa
El orden de los factores de la multiplicación no altera el resultado.
a * b = b * a
Ejemplo:
4 * 9 = 9 * 4
Asociativa
Los factores de una multiplicación se pueden agrupar sin alterar el resultado de la suma.
(a * b) * c = a * (b * c)
Ejemplo:
(3 * 2) * 8 = 3 * (2 * 8)
Neutro
Cualquier número multiplicado por la unidad (por el uno) es igual al mismo número.
a * 1 = a
Ejemplo:
24 * 1 = 24
Inverso
Cualquier numero entero multiplicado por su inverso es igual a la unidad.
a + (1/a) = 1
Ejemplo:
13 + (1/13) = 1
PROPIEDAD DE LA SUMA Y LA MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS
Propiedad Distributiva
La multiplicación de un número entero por la suma de otros números enteros es igual a la suma de los productos del primero número entero por cada uno de los elementos de la suma.
a(b + c) = ab + ac
Ejemplo:
3(2 + 4) = 3*2 + 3*4 = 6 + 12
NÚMEROS SIMÉTRICOS
El número simétrico de un número es el mismo número con signo contrario.
Es decir, el número simétrico de a es -a, y a la inversa, el número simétrico de -a es a.
Ejemplo:
El número simétrico de 5 es -5.
El número simétrico de -7 es 7.
Fíjate que se les llama simétrico porque los dos números están a la misma distancia del 0.
VALOR ABSOLUTO
El valor absoluto de un numero entero es igual al valor positivo del número, ya sea este, negativo o positivo. Geométricamente el valor absoluto significa la distancia que tienen el número al cero.
AGRUPACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS
La agrupación de números enteros en las operaciones se realiza por medio de los paréntesis “( )”. Esto paréntesis tienen dos funciones:
1.- Los paréntesis indican que se tienen que resolver primero las operaciones de adentro del paréntesis.
Por ejemplo:
2 * 4 + 1 = 8 + 1 = 9
2 * 4 + 1 = 2 * 5 = 10
Con la ayuda de los paréntesis podemos indicar que operación se realiza primero:
(2 * 4) + 1 = 8 + 1 = 9
2 * (4 + 1) = 2 * 5 = 10
Importante:
Fíjate que es muy importante el uso de los paréntesis porque el resultado es diferente en un caso y el otro.
2.- Los paréntesis también indica que todo lo que esta dentro de ellos esta siendo afectado por algo afuera.
Por ejemplo:
5 ( 3 + 4) = 5 ( 7 ) = 35
-5 (3 + 4 ) = -5 ( 7 ) = -35
(2 + 3 + 1) = 6
-(2 + 3 + 1) = -6
SUMA Y RESTA DE NÚMEROS ENTEROS
Para sumar y restar números enteros realizamos los siguiente:
Si son números con el mismo signo, sumamos los números y el resultado tendrá el mismo signo.
Ejemplo:
4 + 2 = 6
-3 + (-2) = -5
-3 – 2 = -5
Muy importante:
Recuerda que cuando un número no tiene signo, significa que es positivo; es decir, 5 = +5.
MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE NÚMEROS ENTEROS
Para multiplicar y dividir números enteros se siguen los siguientes pasos:
1.- Se multiplican o se dividen los números.
2.- El resultado tendrá el signo dependiendo de las leyes de los signos:
Las leyes de los signos:
- Si se multiplican o se dividen signos iguales el signo resultante es positivo.
- Si se multiplican o se dividen signos diferentes el signo resultante es negativo.
Ejemplos:
5 * 6 = 30
-5 * 6 = -30
-5 * -6 = 30
+5 * -6 = -30
DIVISIBILIDAD DE NÚMEROS ENTEROS
Como ya sabrás, todos los números se pueden dividir entre otro número, y se pueden dar dos tipos de resultados.
1.- Que la división sea exacta, es decir, que no tengamos residuo.
Por ejemplo:
10 2 = 5
2.- Que la división no sea exacta:
Por ejemplo:
10 3 = 3 y sobra 1.
Con esto tenemos que: llamamos “divisibilidad” de un número, cuando lo dividimos entre otro numero y su resultado no tiene residuo.
Ejemplo:
Podemos decir que 12 es divisible entre 4 porque 12 4 = 3.
Con esta propiedad podemos clasificar a nuestros números enteros en 3 tipos principales:
NÚMEROS PARES:
Son todos los números enteros que son divisibles entre dos.
Por ejemplo:
2, 4, -2, -4, 6, -6…
NÚMEROS PRIMOS
Son todos los números que solo son divisibles entre el 1 y entre ellos mismos:
Por ejemplo:
2, -2, 3, -3, 5, -5…
NÚMEROS COMPUESTOS
Son todos los números que tienen más de dos divisores.
Por ejemplo:
4, -4, 6, -6, 8, -8, 9, -9…
FACTORIZACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS
La factorización de un número es la expresión de este numero en una multiplicación de otros números mas pequeños.
Por ejemplo:
La factorización del número 12 puede ser:
12 = 4 * 3
12 = 2 * 2 * 3
12 = 2 * 6
12 = 4 * 3
MÚLTIPLOS DE NÚMEROS ENTEROS
Los múltiplos de los números enteros son todos los números que son el resultado de multiplicar a un numero por otros enteros.
Por ejemplo:
Los múltiplos de 15 son (30, 45, 60, 70…)
15 * 2 = 30
15 * 3 = 45
15 * 4 = 60
15 * 5 = 75
Ya conociendo como factorizar y que son los múltiplos de un número, en muchas ocasiones tenemos la necesidad de comparar los factores o los múltiplos de varios números. A este tipo de comparación se le llama máximo común divisor (MCD) y mínimo común múltiplo (mcm) respectivamente.
MÁXIMO COMÚN DIVISOR
El máximo común divisor es el número más grande de los divisores que tiene un conjunto de números.
Es decir, si tenemos un conjunto de números:
1.- Cada uno de ellos dentro varios divisores.
2.- De todos estos tenemos que escoger los que sean iguales (comunes).
3.- De estos divisores comunes tenemos que escoger al mayor (el máximo).
Ejemplo:
EL máximo común divisor de 18 y 24 es:
1.- Los divisores de cada número son:
De 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18.
De 24: 1, 2, 3, 6, 8, 12, 24.
2.- Se estos divisores, los comunes son: 1, 2, 3 y 6.
3.- Y por ultimo de estos divisores comunes se escoge al mayor, que es 6.
Y podemos decir que el MCD (18, 24) = 6
MÉTODO PARA OBTENER EL MÁXIMO COMÚN DIVIDIR
Para obtener el máximo común divisor de un conjunto de números podemos usar el siguiente método para ahorrar todos los pasos anteriores.
1.- Coloca los números en una casilla:
2.- Se obtiene un divisor común a los dos números y se anota del lado derecho este divisor y el cociente debajo de cada número, hasta que ya no tengan divisores comunes más que el uno.
3.- El máximo común divisor será la multiplicación de los divisores de la derecha.
MCD (18, 24) = 2 * 3 * 1 = 6
Ejemplo:
Encuentra el MCD de 12, 20 y 36.
1.-
2.-
3.- El MCD (12, 20, 36) = 2 * 2 * 1 = 4
Nota:
Es muy importante saber obtener este número, el MCD, ya que se utiliza en diferentes operaciones más adelante.
MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO
El mínimo común múltiplo de un conjunto de números es el menor de los múltiplos que tienen en común este conjunto de números y se abrevia como mcm.
Es decir, de un conjunto de números:
1.- Se obtienen sus múltiplos comunes.
2.- De estos múltiplos, se elige al más pequeño o menor de ellos.
3.- Este número será el mínimo común múltiplo.
Para obtener el mínimo común múltiplo de un conjunto de número se realiza el siguiente procedimiento.
MÉTODO PARA OBTENER EL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO
Para obtener el mínimo común múltiplo de un conjunto de números podemos usar el siguiente método, parecido al que usamos para obtener el máximo común divisor.
1.- Coloca los números en una casilla:
2.- Se obtienen los divisores de cada número, “ya sea que divida a los números o que divida a alguno de ellos”.
3.- Se continúa dividiendo hasta que todos los números tengan residuo igual a 1.
4.- El mínimo común múltiplo será el resultado de multiplicar los divisores de la derecha.
El mcm (6, 9) = 2 * 3 * 3 = 18
Ejemplo:
Encuentra el mcm de 8, 12 y 20
1.-
2.-
3.- El mcm (8, 12, 20) = 2 * 2 * 2 * 3 * 5 = 120
