Relaciones de proporcionalidad (La Proporcionalidad)

Una relación de proporcionalidad es una comparación entre dos cantidades.

Existen 2 tipos de relaciones de proporcionalidad:

• La razón
• La proporción

La razón o razón de proporcionalidad

La razón es la comparación entre dos cantidades a través de una fracción o a través del uso de los dos puntos.

  

Nota:

A la razón expresada en fracción, también se le llama antecedente al numerado y consecuente al denominador.

Ejemplo 1:

Lo podemos leer diciendo que, en ese salón, por cada 15 niñas hay 20 niños.

Simplificando nuestra fracción tenemos que 15/20 es igual a ¾ y también podemos decir que:

Por cada 3 niñas hay cuatro niños.

Ejemplo 2:

Elena gana 500 pesos al día vendiendo tortas, y solo le invierte 100 pesos. ¿Cuánto vende por cada peso que invierte?

Esto lo podemos expresar como una razón:

 por cada 100 pesos que invierte Elena, vende 500.

Si lo dividimos obtenemos:

 es decir, por cada 1 peso que invierte Elena, ella vende 5 pesos.

La proporción

La proporción es una igualdad entre dos razones.

Ejemplo:

 con esto podemos decir, además de que son dos fracciones equivalentes, también podemos decir que tienen la misma proporción.

También podemos expresar esta comparación con los dos puntos:

3:4 = 9:12

Recuerda

Recuerda que una fracción es equivalente a otra si el producto cruzado es igual o si una fracción es resultado de haber multiplicado por el mismo número el numerador y el denominar de la otra fracción.

Usos de las proporciones

Las proporciones nos ayudan cuando queremos aumentar el valor de algún elemento, pero queremos que se conserve la razón que tiene con el otro elemento.

Uso de las proporciones:

Ejemplo:

Si sabemos que en un vaso lo podemos endulzar correctamente con dos cucharadas de azúcar y ahora queremos endulzar una jarra de agua con capacidad de 10 vasos y que quede con el mismo endulzado que el vaso.

¿cuántas cucharadas de azúcar tenemos que echarle a la jarra?

Lo podemos expresar como:

 por cada vaso le ponemos 2 cucharadas de azúcar. Si queremos endulzar una jarra con capacidad de 10 vasos y que quede con la misma proporción de azúcar que tiene el vaso, lo expresamos:

 

En este ejemplo, sabemos que multiplicamos al 1 por el 10 y para que tengamos una fracción equivalente del otro lado, tenemos también que multiplicar al 2 por el 10, así que:

 

Conclusión:

Para endulzar nuestra jarra de agua de la misma manera que el vaso, tenemos que agregarle 20 cucharadas de azuzar. Porque a 1 vaso solo le agregamos 2.

Tipos de proporciones

Existen 2 tipos de proporciones, que en general podemos expresar de la siguiente forma.

Proporción directa

La proporción directa es cuando una cantidad aumenta, la otra aumenta y si disminuye la otra también disminuye, en este caso decimos que una cantidad es “directamente proporcional a la otra”.

Por ejemplo:

Entre más tortas compras, más tienes que pagar.

Entre menos tortas, menos pagas.

(ojo: no consideres si te hacen descuento).

Y decimos que el número de tortas es directamente proporcional a la cantidad que tenemos que pagar.

Para expresar la proporción directa se realiza por medio de la igualdad de 2 fracciones:

Es decir:

Por 5 tortas tengo que pagar 50 pesos.

Por 10 tortas, ¿Cuánto tengo que pagar?

Para saber cuánto tengo que pagar por las 10 tortas; se multiplica el 10 por el 50 y luego se divide entre el 5.

Tenemos que:  ? = (10*50) / 5 = 100.

Por las 10 tortas tenemos que pagar 100 pesos.

Ojo:

Esto es lo mismo que calcular el valor de cada torta (que seria 10 pesos) y luego multiplícalo por las 10 tortas (10 * 10 = 100).

Proporción inversa

La proporción inversa es cuando una cantidad aumenta la otra disminuye y viceversa y cuando pasa esto, decimos que una cantidad es inversamente proporcional a la otra.

Por ejemplo:

Entre más personas hacen la limpieza de tu casa, menos tiempo les toma acabar.

Entre menos personas ayudan, más tiempo les toma terminar la limpieza.

Y podemos decir que, el número de personas es inversamente proporcional al tiempo necesario para hacer la limpieza.

Para expresar la proporción directa se realiza por medio de la igualdad de 2 multiplicaciones:

Es decir:

Para limpiar nuestra casa, contamos con 3 personas y lo haríamos en 2 horas.

Si nos ayudan otras 3 personas, ¿en cuánto tiempo lo haríamos?

3 * 2 = 6 * ?

Para resolver esta proporción inversa, multiplicamos 3 por 2 y luego lo dividimos entre 6.

(3 * 2) / 6 = 6/6 = 1

Y concluimos que, con 6 personas, podemos hacer la limpieza de nuestra casa en 1 hora.

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